定积分

Definite Integral
本质是和式的极限：分割、近似、求和、取极限

定积分的定义

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{λ \to 0} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x_{i} \end{array}

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{\infty} f (\frac{i}{n}) = \int_{0}^{1} f (x) d x \end{array}

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \sum_{i = 1}^{\infty} f (a + \frac{(b - a) i}{n}) = \int_{a}^{b} f (x) d x \end{array}

定积分的性质

由定积分的定义得到

性质 1

交换积分上下限，符号改变

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x \end{array}

性质 2

满足叠加原理

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} [α f (x) + β g (x)] d x = α \int_{a}^{b} f (x) d x + β \int_{a}^{b} g (x) d x \end{array}

性质 3

积分区间可拆分

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x \end{array}

性质 4

如果 $f (x) \geq 0$ ，则有：

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} f (x) d x \geq 0 (a < b) \end{array}

推论 1：如果 $f (x) \leq g (x)$ ，有：

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x (a < b) \end{array}

推论 2：

\begin{aligned} \Rightarrow | \int_{a}^{b} f (x) d x | \leq \int_{a}^{b} | f (x) | d x (a < b) \end{aligned}

性质 5

估值定理：在区间 $[a, b]$ 上， $m \leq f (x) \leq M$

\begin{array}{r} m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a) (a < b) \end{array}

性质 6

定积分中值定理：积分中值公式

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} f (x) d x = f (ξ) (b - a) (a \leq ξ \leq b) \end{array}

$f (ξ)$ 可看作函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值

\begin{array}{r} m \leq f (ξ) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M \end{array}

和微分中值定理有紧密的联系:

\begin{array}{r} F (b) - F (a) = F^{'} (ξ) (b - a) \end{array}

定积分的计算

见定积分的积分方法